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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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9. Pruebe las siguientes desigualdades
b) ex≥1+xe^{x} \geq 1+x

Respuesta

Para probar esta desigualdad

ex≥1+xe^{x} \geq 1+x

podemos plantear

ex−1−x≥0e^{x} - 1 - x \geq 0

definirnos la función f(x)= ex−1−xf(x) = e^{x} - 1 - x, hacer un estudio completo y ver que siempre es mayor o igual a cero. 

Arrancamos con el estudio:
1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty  
lim⁡x→+∞ ex−1−x \lim_{x \to +\infty} e^{x} - 1 - x 

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Saco factor común exe^x

lim⁡x→+∞ ex(1−1ex−xex) \lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) 

Y ahora fijate que xex\frac{x}{e^x} es una indeterminación "infinito sobre infinito" que se justifica enseguida que tiende a 00 usando L'Hopital. Por lo tanto,

lim⁡x→+∞ ex(1−1ex−xex) =+∞\lim_{x \to +\infty} e^{x} (1 - \frac{1}{e^x} - \frac{x}{e^x}) = +\infty

Ahora calculamos el límite en −∞-\infty, acá no hay ninguna indeterminación por suerte:

lim⁡x→−∞  ex−1−x=+∞\lim_{x \to -\infty}  e^{x} - 1 - x= +\infty  
  3) Calculamos f′(x)f'(x): f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

ex−1=0e^x - 1 = 0

ex=1e^x = 1

x=0x = 0
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0x < 0

b) x>0x > 0 6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. b) Para x>0x > 0 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:

2024-04-20%2010:46:04_6766747.png

Mirando el gráfico, vemos que efectivamente f(x)f(x) es siempre ≥0\geq 0. Y así la desigualdad que nos planteaba el enunciado queda probada :)
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